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    19．${log_3}5+{log_5}\frac{1}{3}+{log_7}\root{3}{49}+\frac{1}{{{{log}_2}6}}+{log_5}3+{log_6}3-{log_3}15$=$\frac{2}{3}$．

    分析 根据对数的运算性质即可求出．

    解答 解：${log_3}5+{log_5}\frac{1}{3}+{log_7}\root{3}{49}+\frac{1}{{{{log}_2}6}}+{log_5}3+{log_6}3-{log_3}15$=log3（$\frac{5}{15}$）+log5（$\frac{1}{3}$×3）+log7${7}^{\frac{2}{3}}$+log62+log63=-l+$\frac{2}{3}$+1=$\frac{2}{3}$，
    故答案为：$\frac{2}{3}$．

    点评 本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

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