Question

4．已知两条直线l₁：y=m和l₂：y=$\frac{9}{m}$（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，$\frac{b}{a}$的最小值为（　　）

• A． 32
• B． $\frac{1}{64}$
• C． 64
• D． $\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，依题意可求得为x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值

解答 解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=$\frac{9}{m}$，log₂x_D=$\frac{9}{m}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{9}{m}}$，x_D=${2}^{\frac{9}{m}}$．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{9}{m}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{9}{m}}}$=2^m•=${2}^{\frac{9}{m}}$=2${\;}^{m+\frac{9}{m}}$
又m＞0，∴m+$\frac{9}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{9}{m}}$=6，当且仅当m=3时取“=”号，
∴$\frac{b}{a}$≥2⁶=64，
∴$\frac{b}{a}$的最小值为64．
故选：C．

点评 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．