Question

10．当x＞$\frac{3}{2}$时，求函数y=2x+$\frac{8}{2x-3}$的最小值为4$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 根据题意，将函数的解析式变形可得y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3，由基本不等式的性质分析可得当x＞$\frac{3}{2}$时，（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$，进而分析可得函数的最小值，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3，
当x＞$\frac{3}{2}$时，即2x-3＞0时，（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$，
则有y=2x+$\frac{8}{2x-3}$=（2x-3）+$\frac{8}{2x-3}$+3≥4$\sqrt{2}$+3，
即当x＞$\frac{3}{2}$时，求函数y=2x+$\frac{8}{2x-3}$的最小值为4$\sqrt{2}$+3，
故答案为：4$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查函数的最值的求法，涉及基本不等式的性质的运用，关键是正确运用基本不等式的形式．