Question

12．在等比数列{a_n}中，公比q＞1，a₂=2，前三项和S₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）q＞1，时，a₂=a₁q=2；${S_3}={a_1}（1+q+{q^2}）=7$，
联立解得$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.\end{array}$，
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中，${a_n}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$，
${c_n}=\frac{1}{{{b_{n+1}}•{b_{n+2}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．