Question

【题目】在圆上任取一点，过点作轴的垂线段， 为垂足，点在线段上，且，点在圆上运动。

(1)求点的轨迹方程；

(2)过定点的直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在点，使为常数，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）由转移法求动点轨迹：先设M(x，y)，P(x0，y0)，根据条件得x0＝x，y0＝y.再代入已知动点轨迹，化简即得点M的轨迹方程（2）以算探索存在性问题：直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，根据向量数量积坐标表示可得＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得关于k的关系式，而由题意得与k无关的常数，所以解得n，即得点的坐标

试题解析：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.

∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.

∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.

点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．

(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，

联立方程组

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)

＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2

＝＋n2

＝＋n2

＝ (2n2＋4n－1)－.

∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.

∴n＝－，即N，此时·＝－.

当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.

综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．