Question

【题目】已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径.

（1）求证：；

（2）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易进一步得到BP⊥；
（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，结合圆柱的体积为，，我们易得∠即为异面直线与所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.

解：解：（1）证明：易知AP⊥BP，

又由⊥平面PAB，

得⊥BP，
从而BP⊥平面，

故BP⊥；
（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，

则BQAP，得∠或它的补角为异面直线与所成的角.
由题意，解得＝3.
又，则为的直角三角形，

则，

得，
由余弦定理得，
则异面直线与所成的角为.