Question

若双曲线的两轴长与其焦距组成等差数列，则其离心率的取值集合是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的两轴长与其焦距组成等差数列，分类讨论，找出a，c的关系，即可求出离心率的取值集合．

解答： 解：若2b=a+c，则平方4b²=a²+2ac+c²，
∴4（c²-a²）=a²+2ac+c²，
∴3c²-2ac-5a²=0，
∴（3c-5a）（c+a）=0，
∴3c=5a，
∴e=

c

a

=

5

3

；
若2a=b+c，即b=2a-c，平方b²=4a²-4ac+c²，
∴c²-a²=4a²-4ac+c²，
∴5a=4c，
∴e=

c

a

=

5

4

，
∴其离心率的取值集合是{

5

3

，

5

4

}．
故答案为：{

5

3

，

5

4

}．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．