Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，边长为1，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求点C到平面A₁EB的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，根据EC∥OD，且EC=OD，得到四边形ECOD为平行四边形，故EO∥CD，CD∥平面A₁BE．
（Ⅱ） 证明CD⊥平面A₁ABB₁ ，可得EO⊥平面A₁ABB₁，故有EO⊥AB₁ ，由正方形的两对角线的性质可得 AB₁⊥A₁B，
 从而证得 AB₁⊥平面A₁BE．
 （Ⅲ）点C到平面A₁EB的距离等于点D到平面A₁EB的距离，由（Ⅱ）知，平面A₁EB⊥平面ABB₁A₁，易求距离为

DB•DO

BO

=

1 2 × 1 2

1 4 + 1 4

，运算得到结果．

解答：证明：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB₁，
且OD=

1

2

BB1．  又E是CC₁中点，则EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD，且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形，所以EO∥CD． 又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．

（Ⅱ） 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD． 由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁，所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．  又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，所以AB₁⊥平面A₁BE．
（Ⅲ）点C到平面A₁EB的距离等于点D到平面A₁EB的距离，由（Ⅱ）知，平面A₁EB⊥平面ABB₁A₁，
易求距离为

DB•DO

BO

=

1 2 × 1 2

1 4 + 1 4

=

2

4

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理 的应用，
判断点C到平面A₁EB的距离等于点D到平面A₁EB的距离，是解题的难点．