Question

10．已知长方体长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，AB=1，AD=2，AA₁=3，则该球的表面积为（　　）

• A． 12π
• B． 13π
• C． 14π
• D． 15π

Answer 1

分析 由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁=$\sqrt{14}$，从而得到长方体外接球的直径等于$\sqrt{14}$，得半径R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
，结合球的表面积公式即可得到该球的表面积．

解答 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，
∴长方体的对角线AC₁=$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC₁=$\sqrt{14}$，可得半径R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
因此，该球的表面积为S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=14π．
故选：C．

点评 本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．