Question

已知a，b∈R，则“a²+b²＜2”是“ab＜1”的（　　）

• A、必要而不充分条件
• B、充要条件
• C、充分而不必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：利用基本不等式，可判断“a²+b²＜2”是“ab＜1”的充分条件；举出反例a=-3，b=1，可判断“a²+b²＜2”是“ab＜1”的不必要条件；

解答： 解：∵a²+b²≥2ab，
当“a²+b²＜2”成立时2ab＜2，即“ab＜1”成立，故“a²+b²＜2”是“ab＜1”的充分条件；
当a=-3，b=1时，“ab＜1”成立，但“a²+b²＜2”不成立，故“a²+b²＜2”是“ab＜1”的不必要条件；
综上所述：故“a²+b²＜2”是“ab＜1”的即充分也不必要条件；
故选：C

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．