Question

设S_n是各项均为非零实数的等差数列{a_n}的前n项和，且满足条件a₁²+a₁₀²≤4，则S₉的最大值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：等差数列{a_n}满足条件a₁²+a₁₀²≤4，可设a₁=rcosθ，a₁₀=rsinθ，（0＜r），利用等差数列的通项公式可得：d=

rsinθ-rcosθ

9

．再利用前n项和公式可得：S₉=9a1+

9×8

2

d=5rcosθ+4rsinθ，利用两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵等差数列{a_n}满足条件a₁²+a₁₀²≤4，
可设a₁=rcosθ，a₁₀=rsinθ，（0＜r），
则0＜r≤2．
∵a₁₀=a₁+9d，∴d=

a10-a1

9

=

rsinθ-rcosθ

9

．
∴S₉=9a1+

9×8

2

d=9rcosθ+36×

rsinθ-rcosθ

9

=5rcosθ+4rsinθ≤

(5r)2+(4r)2

=r

41

≤2

41

．
∴S₉的最大值为2

41

．
故答案为：2

41

．

点评：本题考查了差数列的通项公式及前n项和公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性，考查了三角函数代换方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．