Question

8．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；
（1）求三棱锥A-BCD的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A-BCD的体积．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．

解答 解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则V_A-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AB$=$\frac{1}{6}×BC×CD×AB$=$\frac{1}{6}×2×2\sqrt{2}×2$
=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，2，2），D（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（$\sqrt{2}，1，0$），
$\overrightarrow{AD}$=（2$\sqrt{2}$，-2，-2），$\overrightarrow{CM}$=（$\sqrt{2}，1，0$），
设异面直线AD与CM所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．