Question

2．某市为增强市民的环境保护意识，某市组织了一批年龄在[20，45]岁的志愿者为市民展开宣传活动，现从这批志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，各组人数的频率分布直方图如图所示，现从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加宣传活动．
（Ⅰ）应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在这6名志愿者中随机抽取2名担任宣传后动负责人，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出

解答 解：（Ⅰ） 第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：$\frac{30}{60}$×6=3； 第4组：$\frac{20}{60}$×6=2； 第5组：$\frac{10}{60}$×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；
（Ⅱ） 记第3组的3名志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2名志愿者为B₁，B₂，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）共有10种．
其中第4组的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共有7种
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为$\frac{7}{10}$

点评 熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键