Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
（Ⅰ）求f（x）的解析式及和最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间
（Ⅲ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据辅角公式整理出三角函数的解析式，根据y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期是π，得到ω，写出解析式．
（II）根据正弦曲线的对称轴，写出函数的对称轴的形式，写出对称轴，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．
（III）根据所给的函数的自变量，依次做出函数对应的角的范围，根据正弦曲线做出函数的值域．

解答：解：（I）∵函数f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∵y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
（II）∵正弦曲线的对称轴是x=kπ+

π

2

，k∈z
∴2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴函数的对称轴是x=

kπ

2

+

π

2

，k∈z，
∵2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

] ，k∈z
∴x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]  ，k∈z
（III）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值是1，最小值是-

1

2

点评：本题考查三角函数的解析式和有关性质，是一个基础题，这种题目是高考卷中每一年都要出现的一种题目，注意题目的开始解析式不要出错．