Question

已知函数,,且点处取得极值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：．

 

Answer 1

（1）0；（2）.

【解析】

试题分析：利用导数及极值来解决问题时一般问题不会太难，应抓住关键问题由此入手.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.

试题解析：（Ⅰ）∵， ∴

∵函数在点处取得极值，

∴，即当时，

∴，则得.经检验符合题意

（Ⅱ）∵,∴,

∴.

令,

则.

∴当时，随的变化情况表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	极大值	↘

计算得：，，，

所以的取值范围为.

（Ⅲ）证明：令，

则，

令，则 ，

函数在递增，在上的零点最多一个

又，，

存在唯一的使得，

且当时，；当时，.

即当时，；当时，.

在递减，在递增，

从而.

由得即，两边取对数得：，，

，

从而证得.

考点：（1）利用导数极值求参量的取值或范围 ；（2）导数即函数性质的综合运用.