Question

已知a＞0且a≠1，命题p：函数y=（1-a）x+1在区间（-∞，+∞）上为减函数；命题q：方程x²+（2a-3）x+1=0有两个不同实数根，若p为真，q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据一次函数的单调性，可求出命题p：函数y=（1-a）x+1在区间（-∞，+∞）上为减函数为真命题时，实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出命题q：方程x²+（2a-3）x+1=0有两个不同实数根为假命题，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵a＞0且a≠1，
若命题p：函数y=（1-a）x+1在区间（-∞，+∞）上为减函数为真命题；
则1-a＜0，解得：a＞1，
若命题q：方程x²+（2a-3）x+1=0有两个不同实数根为假命题，
则△=（2a-3）²-4≤0，
解得：

1

2

＜a＜

5

2

，
∴

1

2

＜a＜1，或1＜a＜

5

2

，
综上所述，实数a的取值范围为1＜a＜

5

2

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，一次函数的单调性，一元二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题．