Question

已知在△ABC中，

AB

•

BC

=3，记＜

AB

，

BC

＞=θ．
（1）若△ABC的面积S满足

3

≤2S≤3，求θ的取值范围；
（2）若θ=

π

3

，求△△ABC的最大边长的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，得到|

AB

|•|

BC

|=

3

cosθ

，再利用三角形面积公式表示出S，将得出关系式代入求出tanθ的范围，即可确定出θ的范围；
（2）由θ的值确定出∠ABC的度数，得到AC最长，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出AC的最小值即可．

解答： 解：（1）∵

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|cosθ=3，即|

AB

|•|

BC

|=

3

cosθ

，
∴S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sin（π-θ）=

3

2

tanθ，
∴

3

≤3tanθ≤3，即

3

3

≤tanθ≤1，
则θ的范围为

π

6

≤θ≤

π

4

；
（2）若θ=

π

3

，则∠ABC=

2π

3

，则其所对的边AC最长，
由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos

2π

3

≥2AB•BC+AB•BC=3AB•BC=3×

3

cos π 3

=18，
当且仅当AB=BC时取等号，
∴AC≥3

2

，
则△ABC的最大边长的最小值为3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．