Question

有以下命题：
①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心（

.

x

，

.

y

），且至少过一个样本点．
③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤-2）=0.21；
④函数f（x）=e^-x-e^x的图象的切线的斜率的最大值是-2；
⑤函数f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内；
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①存在x∈R，在其否定中应写为?x∈R，x²-x-2≥0的否定为x²-x-2＜0；②回归直线方程的求解过程中，用到a=

y

-

b

x，说明回归直线一定经过样本中心点；③根据随机变量X服从正态分布N（1，σ²），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤-2）=P（ξ≥4）=1-P（ξ≤4），得到结果；④先求出函数f（x）的导函数，然后借助于不等式求出导函数的最大值为-2；⑤由f（

1

3

）和f（

1

2

）的乘积符号小于0，可知函数的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内．

解答： 解：①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“任意x∈R，x²-x-2＜0”，①错误；
②只能肯定线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心（

.

x

，

.

y

），不一定过样本点，②错误；
③∵随机变量X服从正态分布N（1，σ²），∴μ=1，∴P（ξ≤-2）=P（ξ≥4）=1-P（ξ≤4）=0.21，③正确；
④函数f（x）=e^-x-e^x的导数为f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^x+

1

ex

）≤-2，当且仅当e^x=

1

ex

，即e^x=1，x=0时取等号，所以命题④正确；
⑤函数f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，因为f（

1

3

）=（

1

3

） 

1

3

-（

1

2

） 

1

2

＜0，f（

1

2

）=（

1

2

） 

1

3

-（

1

2

） 

1

2

＞0，所以函数的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内，所以命题⑤正确；
故答案为：③④⑤．

点评：判断命题的真假，看由条件能否推出结论，若能，则该命题为真命题，否则为假，有时直接判断原命题困难时，可判其逆否命题的真假，因为一个命题与其逆否命题共真假．