Question

5．在锐角△ABC中，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B为锐角，
∴B=30°，即A+C=150°，
∴cosA+sinC=cosA+sin（150°-A）
=cosA+$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=$\sqrt{3}$sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，
∴120°＜A+60°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+60°）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（A+60°）＜$\frac{3}{2}$，
则cosA+sinC的取值范围是：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．