Question

5．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），B（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$）．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值；
（Ⅱ）已知C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求tan$\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐标，再跟它们的夹角的余弦值cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，计算求得结果．
（Ⅱ）设∠AOB的平分线OD交单位圆于点D，则∠COD=$\frac{α+β}{2}$，求得$\overrightarrow{OD}$的坐标，根据$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=0，求得tan$\frac{α+β}{2}$的值．

解答 解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点
A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），B（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$），
∴$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$），|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\frac{20}{65}+\frac{36}{65}}{1•1}$=$\frac{56}{65}$．
（Ⅱ）设∠AOB的平分线OD交单位圆于点D，则∠COD=$\frac{α+β}{2}$，
从而D（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$），∴$\overrightarrow{OD}$=（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$），
连接AB，可知OD⊥AB，即$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=0．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（-$\frac{27}{65}$，$\frac{21}{65}$），
∴（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$）•（-$\frac{27}{65}$，$\frac{21}{65}$）=-$\frac{27}{65}$•cos$\frac{α+β}{2}$+$\frac{21}{65}$•sin$\frac{α+β}{2}$=0，
∴tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{9}{7}$．

点评 本题考查综合运用平面向量与三角函数解决问题的能力，属于中档题．