Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax-2lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（2）问题转化为$a≤\frac{2}{x}-x$在区间（0，2]上恒成立，设$g（x）=\frac{2}{x}-x$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+ax-2lnx$．
当a=1时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx$，定义域为（0，+∞）．
其导函数为$f'（x）=x+1-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x}=\frac{（x+2）（x-1）}{x}$
令f'（x）＞0可得：x＞1；
令f'（x）＜0可得：0＜x＜1．
故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
f（x）的极小值为$f（1）=\frac{3}{2}$，无极大值．
（2）f（x）的导函数为$f'（x）=x+a-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+ax-2}}{x}$，
由函数f（x）在区间（0，2]上为减函数可得：
f'（x）≤0即x²+ax-2≤0在区间（0，2]上恒成立，
即$a≤\frac{2}{x}-x$在区间（0，2]上恒成立，
设$g（x）=\frac{2}{x}-x$，可知y=g（x）在（0，2]上单调递减，
所以a≤g_min（x）=g（2）=-1．
故所求实数a的取值范围为（-∞，-1]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．