Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为18，则2a+b的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 4$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 作可行域，平移目标直线可得直线过点B（1，4）时，目标函数取最大值，可得ab=16，由基本不等式可得．

解答 解：作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，所对应的可行域，（如图阴影）
变形目标函数可得y=abx-z，其中a＞0，b＞0，
经平移直线y=abx可知，当直线经过点A（0，2）或B（1，4）时，
目标函数取最大值，显然A不合题意，
∴ab+4=18，即ab=14，
由基本不等式可得2a+b≥2$\sqrt{2ab}$=4$\sqrt{7}$，当且仅当2a=b=2$\sqrt{7}$时取等号，
故选：C．

点评 本题考查线性规划，涉及基本不等式的应用和分类讨论的思想，属中档题．