Question

20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（3，a）到焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知直线l过定点P（-3，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，并写出相应直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线上一点P（3，a）到焦点的距离为5，结合抛物线的定义，即可求抛物线的标准方程；
（2）设出直线l的方程为y-1=k（x+3），与抛物线方程联立化为关于x的一元二次方程，分类讨论，求出判别式等于0时k的取值，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知设所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），则准线方程为$x=-\frac{p}{2}$．
由定义知$\frac{p}{2}$+3=5，得p=4，
故所求方程为y²=8x．    …（4分）
（2）设直线l的方程为y-1=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+3）\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消去x整理得ky²-8y+24k+8=0
若k=0，则解得$x=\frac{1}{8}$，y=1，
直线l与抛物线相交于一点（$\frac{1}{8}$，1），直线l的方程为y=1．
若k≠0，则由题意知△=64-4k（24k+8）=0，
化简整理得3k²+k-2=0，解得k=-1或$k=\frac{2}{3}$．
此时直线l与抛物线相切于一点．
当k=-1时，直线l的方程为x+y+2=0；
当$k=\frac{2}{3}$时，直线l的方程为2x-3y+9=0．
综上所述，所求的k=0或k=-1或$k=\frac{2}{3}$，相应的直线方程分别为y=1、x+y+2=0、2x-3y+9=0．  …（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．