Question

11．已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为∅；命题q：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{a}=1$表示焦点在y轴上的椭圆；若命题^?q为真命题，p∨q为真命题．
（1）求实数a的取值范围；
（2）判断方程（a+1）x²+（1-a）y²=（a+1）（1-a）所表示的曲线的形状．

Answer 1

分析 （1）若命题^?q为真命题，p∨q为真命题．则p为真q为假，进而可得实数a的取值范围；
（2）结合圆锥曲线和圆方程的特点，对a进行分类讨论，可得答案．

解答 解：（1）由题意得 若P为真，则△=（a-1）²-4＜0⇒-1＜a＜3
若q为真，则a＞2；
又命题?q为真命题，p∨q为真命题得，p为真q为假
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜a＜3}\\{a≤2}\end{array}}\right.$⇒-1＜a≤2；
（2）由（1）得-1＜a≤2
∴①当a=1时，方程表示一条直线，即y轴；
②当-1＜a＜0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
③当a=0时，方程表示单位圆；
④当0＜a＜1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
⑤当1＜a≤2时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，圆锥曲线的方程，难度中档．