Question

5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，M为BC的中点，BM=MC=2，AM=b-c，则△ABC面积最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠AMB=α，则∠AMC=π-α，在△AMB与△AMC中，分别利用余弦定理可得：c²=2²+（b-c）²-4（b-c）cosα，b²=2²+（b-c）²-4（b-c）cos（π-α），化为b²+c²-4bc+8=0，可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵角A、B、C的对边长分别为a、b、c，M是BC的中点，
若a=4，AM=b-c，设∠AMB=α，则∠AMC=π-α，
则c²=2²+（b-c）²-4（b-c）cosα，b²=2²+（b-c）²-4（b-c）cos（π-α），
∴b²+c²=8+2（b-c）²，即b²+c²-4bc+8=0，
故cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，
故sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$≤2$\sqrt{3}$，当且仅当bc=8时取等号．
即△ABC的面积的最大值为$2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．