Question

已知-1≤

ax+b

x2+1

≤4，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：构造函数y=

ax+b

x2+1

，通过去分母整理得yx²-2ax+y-b=0，将y看作是系数，此方程一定有解，故判别式△≥0，由此得到关于y的不等式，数y=

ax+b

x2+1

的最大值为4，最小值为-1，故y²-by-a²=0的两根为-1和4．再用根系关系建立起常数a，b的方程，求值．

解答： 解：由y=

ax+b

x2+1

去分母整理得
yx²-2ax+y-b=0．①
对于①，有实根的条件是△≥0，
即（-2a）²-4y（y-b）≥0．
∴y²-by-a²≤0．又-1≤y≤4，
∴y²-by-a²=0的两根为-1和4．
∴

-1+4=b -1×4=-a2

解得

a=2 b=3

或

a=2 b=-3

．

点评：本题考查不等式的求解，转化思想的应用，构造函数，求解函数的值域，考查了判别式法求值域的变形运用，得到了关于函数值y的不等式，再由根系关系建立关于所求参数的方程求参数，此方法是解决分式型二次函数值域求法的便捷方法，注意研究其特征及做题过程．