Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

．
（1）求f（x）的极小值；
（2）若a、b＞0，求证：lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到单调区间，求出极值点，从而求出函数的极小值；
（2）由（1）f（x）≥f（0）=0，从而ln（1+x）≥

x

1+x

在定义域（-1，+∞）上恒成立．经分析，令1+x=

a

b

，则上述不等式即为ln

a

b

≥1-

b

a

成立．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

，x＞-1
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，
当x=0时，f′（x）=0，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x=1是f（x）的极小值点也是最小值点，
所以f（x）的极小值=f（0）=0；
（2）由（1），f（x）≥f（0）=0，从而ln（1+x）≥

x

1+x

在定义域（-1，+∞）上恒成立．
要证lna-lnb≥1-

b

a

成立．即证ln

a

b

≥1-

b

a

成立．
令1+x=

a

b

，则

x

1+x

=1-

1

x+1

=1-

b

a

，于是ln

a

b

≥1-

b

a

，不等式成立．

点评：本题考查函数极值求解，函数性质的得出与应用，考查构造，分析解决问题能力，由特殊到一般的数学思想．