Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（1）若函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．
（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞

2(2x+1)

e2x

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，利用函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，建立不等式，即可求实数a的范围．
（2）设h（x）=x（x+1）f（x）-

2(2x+1)

e2x

，则h′（x）=2+

1

x

+lnx+

8x

e2x

，证明h（x）在[1，+∞）上单调递增，即可得出结论．

解答： （1）解：∵f（x）=

1+lnx

x

，
∴f′（x）=-

lnx

x2

，
∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，
∴

a-1＜1 a+1＞1 a＞1

，
∴1＜a＜2；
（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x）-

2(2x+1)

e2x

，则h′（x）=2+

1

x

+lnx+

8x

e2x

∵x≥1，∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=2-

6

e2

＞0，
∴x≥1时，x（x+1）f（x）＞

2(2x+1)

e2x

．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的极值，考查不等式的证明，正确运用函数的单调性是关键．