Question

已知椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），长轴两端点为A，B，短轴右端点为C．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为4

2

，点M在椭圆上运动，且△ABM的最大面积为3，求该椭圆方程；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的椭圆，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：常规题型,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意确定a，b，c；得椭圆方程；（2）设直线方程并与椭圆联立化简，根据线段相等求k．

解答： 解：（Ⅰ）由已知c=2

2

，

1

2

(2a)b=3，
又∵a²=b²+c²，
解得，a=3，b=1
则椭圆方程为：

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0）
代入椭圆方程并整理得，
（1+9k²）x²+18kx=0
∴

.

CE

.

=

1+k2

•

18 . k   .

1+9k2

；
同理，

.

CD

.

=

1+k2

•

18

9+k2

；
由三角形CDE为等腰直角三角形知，
k³+9k²+9k+1=0，
即（k+1）（k²+8k+1）=0
∴k=-1或k=-4±

15

．

点评：本题考查了圆锥曲线的相关知识，化简时要注意简化运算，同时要细致．