Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）和条件求出b_n，并进行裂项后代入T_n，相消后求出结果．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
显然n=1是也满足，所以{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）由（1）知a_n=2n，故bn=

1

(n+1)an

=

1

(n+1)(2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

(n+1)

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2n+2

．

点评：本题考查“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”的应用，以及裂项相消法求数列的和，这是常考的题型．