Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-2x+2+lnx，a∈R．
（1）当a=0时，求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在（1，﹢∞）上只有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，f（x）=-2x+2+lnx，则令f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

＞0，由此能求出f（x）的单调增区间．
（2）令f′（x）=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，故f′（x）=0在（1，+∞）上只有一个根且不是重根．令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．进行分类讨论能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=-2x+2+lnx，
令f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

＞0，
解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x）的单调增区间是（0，

1

2

）．
（2）∵令f′（x）=ax-2+

1

x

=

ax2-2x+1

x

=0，
f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，
∴f′（x）=0在（1，+∞）上只有一个根且不是重根．
令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．
①当a=0时，g（x）=-2x+1，不在（1，+∞）上有一个根，舍去．
②当a＞0时，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一个根，且不是重根，
∴g（1）＜0，∴0＜a＜1；
③当a＜0时，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一个根，且不是重根，
∴g（1）＞0，∴a＞1，矛盾．
综上所述，实数a的取值值范围是：0＜a＜1．

点评：本题考查利用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．