Question

已知向量

OA

=（2-2cos

x

2

，3sin

x

2

），

OB

=（cos

x

2

，sin

x

2

）x∈R 
（1）求|

AB

|；
（2）求|

AB

|的最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：综合题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由

OB

、

OA

求出

AB

，再求|

AB

|的大小；
（2）由|

AB

|的表达式，结合三角函数的有界性以及二次函数的性质，求出|

AB

|的最值．

解答： 解：（1）∵

AB

=

OB

-

OA

=（3cos

x

2

-2，-2sin

x

2

），
∴|

AB

|=

(3cos x 2 -2)2+4sin2 x 2

=

9cos2 x 2 -12cos x 2 +4+4sin2 x 2

=

5cos2 x 2 -12cos x 2 +8

；…（6分）
（2）∵|

AB

|=

5cos2 x 2 -12cos x 2 +8

=

5(cos x 2 - 6 5 )2+ 4 5

，
∴当cos

x

2

=-1时，|

AB

|取得最大值，是|

AB

|=

5×(-1- 6 5 )2+ 4 5

=5；
当cos

x

2

=1时，|

AB

|取得最小值，是|

AB

|=

5×(1- 6 5 )2+ 4 5

=1；
∴|

AB

|的最大值是5，最小值是1．…（12分）

点评：本题考查了平面向量的应用问题以及三角函数的性质和二次函数的性质与应用问题，是综合题目．