Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＜0，若存在正整数m（m＞1）使a_m=S_m，则当n＞m时，S_n与a_n的大小关系为（　　）

A．S_n＞a_n

B．S_n＜a_n

C．S_n=a_n

D．不能确定

Answer 1

分析：由题意可知S_m-1=0，由S_m-1=0得到首项与公差和m的关系，把要比较的两数作差后代入a1=

(2-m)d

2

，因式分解后由已知得结论．

解答：解：由a_m=S_m=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m，得S_m-1=0，
∴(m-1)a1+

(m-1)(m-2)d

2

=0，
∵m＞1，∴a1=

(2-m)d

2

．
S_n-a_n=na1+

n(n-1)d

2

-[a1+(n-1)d]
=(n-1)a1+

n2d-nd-2nd+2d

2

=(n-1)•

(2-m)d

2

+

n2d-3nd+2d

2

=

2nd-2d-mnd+md+n2d-3nd+2d

2

=

(n-1)(n-m)d

2

．
∵m＞1，n＞m，d＜0，
∴S_n-a_n＜0，即S_n＜a_n．
故选：B．

点评：此题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了作差法比较两个数的大小，是中档题．