Question

设A，B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围；
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

OP

=

OA

+

OB

，确定P，A，B坐标之间的关系，根据|

AB

|=

20

，可得曲线C的方程；
（2）由

DM

=λ

DN

可得N，M坐标之间的关系，利用M，N在曲线C上，结合λ≠0，λ≠1，即可求实数λ的取值范围；
（3）设直线MN的方程，求出直线l的方程，由E（0，y₀）在直线l上，确定y₀的表达式，从而可求y₀的取值范围．

解答：解：（1）设P(x，y)，A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，
又|

AB

|=

20

，∴

5

4

y2+

4

5

x2=20，即所求曲线方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）设N（s，t），M（x，y），则由

DM

=λ

DN

可得（x，y-16）=λ（s，t-16）
故x=λs，y=16+λ（t-16）
∵M，N在曲线C上，∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1

，
消去s，得

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1，由λ≠0，λ≠1解得t=

17λ-15

2λ

，
又|t|≤4，∴

3

5

≤λ≤

5

3

且λ≠1；
（3）设直线MN为y=kx+b（k≠0），则

x2 25 + y2 16 =1 y=kx+b

得：（25k²+16）x²+50kbx+25（b²-16）=0
由△＞0解得：b²＜25k²+16①，且

x1+x2

2

=-

25kb

25k2+16

，

y1+y2

2

=-

16b

25k2+16

则直线l为y-

16b

25k2+16

=-

1

k

(x+

25kb

25k2+16

)，
由E（0，y₀）在直线l上，∴y0=

-9b

25k2+16

②
由①②得y02＜

81

25k2+16

＜

81

16

∴-

9

4

＜y0＜

9

4

．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．