Question

设A、B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．

Answer 1

分析：设出动点P和A，B两点的坐标，根据A，B两点在直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上，且|

AB

|=

20

，列出关于A，B的横坐标的关系式，再由

OP

=

OA

+

OB

，把P点的坐标都用A，B的横坐标表示，整体代换后即可得到P点的轨迹C的方程．

解答：解：设P（x，y），因为A，B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的点，
故可设A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2-

2 5

5

x2)，
又|

AB

|=

20

，所以(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20①，
因为

OP

=

OA

+

OB

，所以有

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，即

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

．
代入①得：

5

4

y2+

4

5

x2=20，即曲线C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．

点评：本题考查了曲线与方程，考查了整体运算思想，训练了代入法，解答该题的关键是由已知列出A，B两点横坐标的关系，然后转化为P点的横纵坐标的关系，是中档题．