Question

17．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AB上，且AE=2．
（1）求三棱锥C₁-A₁EB₁的体积；
（2）求异面直线C₁E与AD所成角的大小（用反三角值表示）．

Answer 1

分析 （1）三棱锥C₁-A₁EB₁的高C₁B₁=3，底面△A₁EB₁的面积${S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{9}{2}$，由此能求出三棱锥C₁-A₁EB₁的体积．
（2）连结B₁E，由AD∥A₁D₁，B₁C₁∥A₁D₁，得到∠B₁C₁E是异面直线C₁E与AD所成的角，由此能求出异面直线C₁E与AD所成角．

解答 解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AB上，且AE=2，
∴三棱锥C₁-A₁EB₁的高C₁B₁=3，
底面△A₁EB₁的面积${S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$，
∴三棱锥C₁-A₁EB₁的体积：
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}E{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}E{B}_{1}}×{C}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×3=\frac{9}{2}$．
（2）连结B₁E，∵AD∥A₁D₁，B₁C₁∥A₁D₁，
∴AD∥B₁C₁，
∴∠B₁C₁E是异面直线C₁E与AD所成的角，
在Rt△C₁B₁E中，
 C₁B₁=3，B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∴tan$∠{B}_{1}{C}_{1}E=\frac{{B}_{1}E}{{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，∴∠B₁C₁E=arctan$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴异面直线C₁E与AD所成角为arctan$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．