Question

8．已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若不同的两点A（m，f（m）），B（n，f（n））满足：lnm•lnn-ln（m•n）+2=0，试判定点P（e，f（e））是否在以线段AB为直径的圆上？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的表达式，计算出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，从而判断结论即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞），
对于f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$=0，
当0＜x＜e时，lnx＜1，-$\frac{e}{x}$＜-1，
∴f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$＜0，
当x＞e时，lnx＞1，-$\frac{e}{x}$＞-1，
∴f′（x）=lnx-$\frac{e}{x}$＞0，
即f（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，
∴（x）_极小值=f（e）=0，无极大值；
（Ⅱ）若m=e，则（1-lnm）（1-lnn）=0，与条件（1-lnm）（1-lnn）=-1不符，
从而m≠e，同理可得n≠e，从而m≠n，
由上可得点A、B、P两两不重合，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（m-e，f（m））•（n-e，f（n））
=（m-e）（n-e）+（m-e）（n-e）（lnm-1）（lnn-1）
=（m-e）（n-e）（lnmlnn-lnmn+2）=0，
故$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，点A、B、P可构成直角三角形，
故P（e，f（e））在以线段AB为直径的圆上．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及向量的应用，是一道中档题．