Question

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₆=S₆=-3；正项数列{b_n}满足：b_n+1²-b_n+1b_n-2b_n²=0，b₂+b₄=20．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．
∵a₆=S₆=-3；
∴

a1+5d=-3 6a1+15d=-3

，解得

a1=2 d=-1

，
∴a_n=2-（n-1）=3-n．
又正项数列{b_n}满足：b_n+1²-b_n+1b_n-2b_n²=0，
∴（b_n+1-2b_n）（b_n+1+b_n）=0，
∴b_n+1=2b_n．
即数列{b_n}是公比为2的等比数列．
∵b₂+b₄=20．
∴2b₁+8b₁=20，解得b₁=2．
∴bn=2n．
（2）c_n=

an

bn

=

3-n

2n

．
∴T_n=

2

21

+

1

22

+0+

-1

24

+…+

4-n

2n-1

+

3-n

2n

       ①

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+0+

-1

25

+…-+

4-n

2n

+

3-n

2n+1

        ②
①-②得：

1

2

Tn=1-(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)+

n-3

2n+1

=1-

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+

n-3

2n+1

=1-

1

2

(1-

1

2n-1

)+

n-3

2n+1

，
∴T_n=2-1+

1

2n-1

+

n-3

2n

，
=1+

n-1

2n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．