Question

设向量

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，定义一种向量积

a

?

b

=(a1b1，a2b2)，已知

m

=(2，

1

2

)，

n

=(

π

3

，0)，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动．满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点），则当x∈[0，2π]时，函数y=f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,类比推理

专题：新定义,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：根据题意，设出点P、Q的坐标，由新定义的解析式得到P、Q的坐标之间的关系，从而得出正确的结论．

解答： 解：根据题意，设P（x，sinx），Q（x₀，y₀），
∵满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

，
∴（x₀，y₀）=（2x+

π

3

，

1

2

sinx），
∴x₀=2x+

π

3

，y₀=

1

2

sinx．
又∵x∈[0，2π]时，
x₀∈[

π

3

，

13π

3

]
∴y₀=

1

2

sinx，
∴y₀的最大值是

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了新定义的应用问题，也考查了平面向量与三角函数的最值问题，解题时应先从条件中抽象出函数的解析式来，是中档题．