Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=12x-4，若f（-1）=0，且f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=g（x）．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）判断函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间，并求h（x）在[-4，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，由f（-1）=0，f（1）=g（1）=8，f′（1）=12，列出a，b，c的方程，解得即可；
（2）求出h（x）的解析式，并求导数，求出单调区间和极值，并求端点的函数值，比较即可得到最大值．

解答： 解：（1）f（-1）=0，则有-1+a-b+c=0 ①
又f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=g（x），
则f（1）=g（1）=8，f′（1）=12，
即a+b+c=7②，2a+b=9③
由①②③解得，a=b=3，c=1；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²-9x+5
h′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
令h′（x）=0，得x=-3或1．

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

故h（x）的单调增区间为（-∞，-3），（1，+∞），单调减区间为（-3，1），
则有h（x）的极大值h（-3）=32，极小值h（2）=7，而h（-4）=25，
则h（x）在[-4，2]上的最大值为32．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于基础题．