Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=lnx（x＞1）的图象上的动点，该图象在点p处的切线l交x轴于点M．过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是（　　）

• A、

  1

  e2

• B、

  e

  2

  +

  1

  2e

• C、

  3

  4

  e

  +

  1

  4 e

• D、1

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意设点P的坐标为（m，lnm）；从而写出直线方程，从而得到M（m-mlnm，0），N（m+

lnm

m

，0）；从而求得t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）（m＞1）；再由导数求最值即可．

解答： 解：设点P的坐标为（m，lnm）；
f′（m）=

1

m

；
则切线l的方程为y-lnm=

1

m

（x-m）；
l的垂线的方程为y-lnm=-m（x-m）；
令y=0解得，
M（m-mlnm，0），N（m+

lnm

m

，0）；
故t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）（m＞1）；
t′=

1

2

(m2+1)(1-lnm)

m2

；
故t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）先增后减，
故最大值为

1

2

（2e+

1

e

-e）=

e

2

+

1

2e

；
故选B．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了直线的方程，属于难题．