Question

山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20%的增长率生长．从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第n年底的木材存量为a_n万立方米．
（Ⅰ）试写出a_n+1与a_n的关系式，并证明数列{a_n-5}是等比数列；
（Ⅱ）问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题得a_n+1=a_n×（1+20%）-1，由此能数列{a_n-5}是公比为

6

5

的等比数列，由此能写出a_n+1与a_n的关系式，并证明数列{a_n-5}是等比数列．
（Ⅱ）由a₁-5=30×（1+20%）-1-5=30，得an=30(

6

5

)n-1+5，由此能求出大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米．

解答： 解：（Ⅰ）由题得a_n+1=a_n×（1+20%）-1
即an+1=

6

5

an-1…2分
所以

an+1-5

an-5

=

6 5 an-6

an-5

=

6

5

因此数列{a_n-5}是公比为

6

5

的等比数列  …6分
（Ⅱ）由题a₁-5=30×（1+20%）-1-5=30
所以an-5=30(

6

5

)n-1，即an=30(

6

5

)n-1+5…8分
所以an=30(

6

5

)n-1+5≥125，即(

6

5

)n-1≥4(n-1)lg

6

5

≥lg4
所以n＞

2lg2

2lg2+lg3-1

+1=8.5
所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米．…12分．

点评：本题考查数列知识在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要注意等比数列性质的合理运用．