Question

若P（x₀，y₀）（x₀≠a）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于-

1

4

．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e的值；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，
若C为椭圆上一点，满足

OC

=λ

OA

+

OB

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

4

，由此能求出椭圆E的离心率e的值．
（Ⅱ）由方程组

x2+4y2=4b2 y=x-c

，得5x²-8cx+8b²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由此利用韦达定理、点差法，结合已知条件能求出λ．

解答： （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于-

1

4

，
∴

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

4

，
∴a²=4b²，c²=3b²，
∴e=

c

a

=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由方程组

x2+4y2=4b2 y=x-c

，
得5x²-8cx+8b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8c

5

，x1x2=

8b2

5

，
再设C（x₃，y₃），

OC

=λ

OA

+

OB

，即

x3=λx1+x2 y3=λy1+y2

，
由于C为椭圆上的点，即x32+4y32=4b²，
则（λx₁+x₂）²+4（λy₁+y₂）²=4b²，
整理得：λ2(x12+4y12)+(x22+4y22)+2λ（x₁x₂+4y₁y₂）=4b²．（*），
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上，即x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2，
又x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁-c）（x₂-c）
=5x1x2-4c(x1+x2)+4c2
=8b2-

32

5

c2+4c2=

4

5

b2，
∴（*）式可化为4b2λ2+4b2+2λ•

4

5

b2=4b2，
即λ2+

2

5

λ=0，
解得：λ=0，或λ=-

2

5

．…（15分）

点评：本题考查椭圆E的离心率e的求法，考查实数λ的值的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．