Question

10．数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{3}$与a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分与分数部分），则a₂₀₁₇=（　　）

• A． $3021+\sqrt{3}$
• B． $3024+\sqrt{3}$
• C． $3021+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $3024+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Answer 1

分析 通过写出前几项，寻找他们之间的规律，归纳得出结论．

解答 解：a₁=$\sqrt{3}$，
a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$），
a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=3+$\sqrt{3}$=a₁+3，
a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=a₂+3，
a₅=5+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=a₃+3=a₁+6，
…
∴a₂₀₁₇=a₂₀₁₅+3=a₂₀₁₃+6=…=a₁+3×（$\frac{2017-1}{2}$）=3024+$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．