Question

19．已知球的表面积为8π，球内接正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为何值时，正三棱柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？

Answer 1

分析 设底面边长为x，则正三棱柱的高为2$\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$（0$＜x＜\sqrt{6}$），求出正三棱柱的侧面积，利用配方法，即可得出结论．

解答 解：设球的半径为r，则4πr²=8r，∴r=$\sqrt{2}$（2分）
由题意可知，球心在正三棱柱上、下底面中心连线的中点处．（3分）
设底面边长为x，则正三棱柱的高为2$\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$（0$＜x＜\sqrt{6}$）（6分）
所以正三棱柱的侧面积S=3x$•2\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$=6$\sqrt{-\frac{1}{3}（{x}^{2}-3）^{2}+3}$（10分）
所以当x²=3，即x=$\sqrt{3}$时，正三棱柱的侧面积最大为6$\sqrt{3}$（12分）

点评 本题考查正三棱柱的侧面积，考查学生的计算能力，正确求出正三棱柱的侧面积是关键．