Question

【题目】已知函数f（x）＝2cos2x+ax2．

（1）当a＝1时，求f（x）的导函数在上的零点个数；

（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）零点个数为3；（2）[1，+∞）．

【解析】

（1）易得＝2（x﹣sin2x），再用导数法研究（0，）上的零点情况，然后结合的奇偶性求解.

（2）令sinx＝t∈[﹣1，1]，转化为不等式cos2t≤a（1﹣t2）恒成立，再t＝±1和﹣1＜t＜1分类讨论求解.

（1）易知＝2（x﹣sin2x），显然＝0，

所以x＝0是f′（x）的一个零点，

令g（x）＝x﹣sin2x（0≤x），则＝1﹣2cos2x＝0时，x，

所以g（x）在（0，）单调递减，在（，）单调递增，

则g（x）的最小值为g（）0，

又g（0）＝0，且g（）0，

所以g（x）在（0，）上存在唯一零点x0∈（，），

则＝2g（x）在（0，）上亦存在唯一零点，

因为是奇函数，所以在（，0）上也存在唯一零点﹣x0，

综上所述，当a＝1时，f（x）的导函数在[，]上的零点个数为3；

（2）不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）恒成立，即不等式cos（2sinx）≤acos2x恒成立，

令sinx＝t∈[﹣1，1]，则等价于不等式cos2t≤a（1﹣t2）…（1）恒成立，

①若t2＝1，即t＝±1时，不等式（1）显然成立，此时a∈R，

②若﹣1＜t＜1时，不等式（1）等价于a（2）

设h（t）（﹣1＜t＜1），

当0≤t＜1时，，

令φ（t）＝tcos2t﹣（1﹣t2）sin2t（0≤t＜1，

则＝（2t2﹣1）cos2t（0≤t＜1），

已知＝0，＝0，且，

则φ（t）在（0，），（，1）上单调递减，在（，）上单调地增，

又φ（0）＝0，φ（）＝﹣1＜0，所以φ（t）＜0在（0，1）上恒成立，

所以h（t）在[0，1）上单调递减，则h（t）≤h（0）＝1，

显然函数h（t）为偶函数，故函数h（t）在[﹣1，1]上的最大值为1，

因此a≥1，

综上所述，满足题意的实数a的取值范围为[1，+∞）．