Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$．向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量由向量夹角为$\frac{π}{6}$，可得∠ACB=$\frac{π}{6}$．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧 $\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|．

解答 解：∵由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量
∴1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$．
设 $\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∵向量 $\overrightarrow{c}$满足 $\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与 $\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为 $\frac{π}{6}$，
∴∠ACB=$\frac{π}{6}$．
由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．
可知：当AC时是弧 $\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|，
在△ABC中，由正弦定理可得：AC=$\frac{AB}{sin30°}$=2．
∴|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|取得最大值是2．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题