Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx，sin（ωx+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，sinωx），其中ω＞0，f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{2}$），且f（x）的图象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）内有最高点但无最低点，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式得出f（x）的解析式，利用三角函数的恒等变换化简f（x），根据三角函数的性质得出f（x）的最值；
（2）根据三角函数的对称性可知f（$\frac{π}{3}$）=f_max（x），且T≥$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，根据正弦函数的性质和周期公式解出ω．

解答 解：（1）f（x）=sinωxcosωx+sin（ωx+$\frac{π}{6}$）sinωx=$\frac{3}{2}$sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²ωx
=$\frac{3}{4}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴当sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=-1时，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=1时，f（x）取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]．
（2）∵若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{2}$），且f（x）的图象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）内有最高点，
∴x=$\frac{π}{3}$是f（x）的一条对称轴，且f（$\frac{π}{3}$）=f_max（x）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴2ω×$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，解得ω=1+3k，k∈Z．
∴f（x）的图象在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）内无最低点，
∴T≥$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即$\frac{2π}{2ω}$≥$\frac{π}{3}$，∴ω≤3．
又∵ω＞0，
∴当k=0时，ω=1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．