Question

1．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}，{b_n}分别满足a_n=f（n），b_n=f（b_n-1）．且b₁=1，
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=（$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}+1}$），求数列{c_n}的前项和．

Answer 1

分析 （1）通过函数解析式及数列的特征可知a_n=2n+1，通过对b_n=2b_n-1+1变形可知数列{b_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}+1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，进而可知c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$（n≥3），通过令d_n=c_n+2，利用错位相减法计算可知数列{d_n}的前n-2项和为S_n-2，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，a_n=2n+1，
b_n=2b_n-1+1，（b_n+1）=2（b_n-1+1），
又∵b₁=1，
∴数列{b_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴b_n+1=2ⁿ，b_n=-1+2ⁿ；
（2）由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}+1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，则
c₁=$\frac{2+1}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{4+1}{{2}^{2}}$-1=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
当n≥3时，c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
令d_n=c_n+2，数列{d_n}的前n项和为S_n，
则S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+9•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{4}}$+9•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+2（$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{4}}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{{2}^{3}}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
即S_n-2=$\frac{9}{4}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
记数列{c_n}的前n项和为T_n，则
T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{3}{{2}^{2}}，}&{n=2}\\{3-\frac{2n+5}{{2}^{n}}，}&{n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．