Question

10．如图，a∈（0，π），且a≠$\frac{π}{2}$，当∠xOy=e时，定义平面坐标系xOy为a仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则记为$\overrightarrow{OP}$=（x，y），若在仿射坐标系中，已知$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（s，t），下列结论中不正确的是（　　）

• A． 若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$，则m=s，n=t
• B． 若$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$，则mt-ns=0
• C． 若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则ms+nt=0
• D． 若m=t=1，n=s=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角$\frac{π}{3}$，则a=$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据在仿射坐标系中斜坐标的定义，便可得到$\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}}，\overrightarrow{b}=s\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$，然后由平面向量基本定理及共线向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式即可判断每项结论的正误．

解答 解：根据斜坐标的定义，$\overrightarrow{a}=（m，n），\overrightarrow{b}=（s，t）$；
∴$\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}}，\overrightarrow{b}=s\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$；
A．若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$，根据平面向量基本定理得：m=s，n=t，∴该结论正确；
B．若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则存在实数k，使$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，$k\overrightarrow{a}=mk\overrightarrow{{e}_{1}}+nk\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{s=mk}\\{t=nk}\end{array}\right.$；
∴$\frac{s}{m}=\frac{t}{n}$；
∴mt-ns=0；
∴该结论正确；
C．若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（m\overrightarrow{{e}_{1}}+n\overrightarrow{{e}_{2}}）•（s\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$ms+（mt+ns）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+nt=0$；
$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}≠0$；
∴ms+nt≠0；
∴该结论错误；
D．若m=t=1，n=s=2，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}，\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则：$cos\frac{π}{3}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2+5\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2=4+5cosa$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\sqrt{5+4cosa}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}}=\sqrt{5+4cosa}$；
∴$\frac{1}{2}=\frac{4+5cosa}{5+4cosa}$；
解得$cosα=-\frac{1}{2}$；
∴$a=\frac{2π}{3}$；
∴该结论正确．
故选：C．

点评 考查对仿射坐标系的理解，及对定义的斜坐标的理解，以及平面向量基本定理、共面向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式．